かたちに詳しくなるための建築幾何学#2 「パラメータ空間」

こんにちは、新入社員の篠原です。NURBSが好きです。
NURBSの好きなところを紹介します。

建築に携わる皆さんにとって、「空間」という言葉は馴染み深いと思いますが、今回扱う空間は数学の言葉*1で、いわゆる3次元空間をイメージしてもらっても差し支えないです。

今回は、Grasshopperモデリングで空間の知識を応用する方法を紹介しようと思います。

宇宙と地球からNURBS曲面を見る

NURBS曲面を宇宙的にとらえてみましょう。
地球の地表面は宇宙から丸く見えますが、地球からは平らに見えますよね*2。ざっくりそういったものをイメージしてください。
CADの3次元空間を考えます。ここにある対象のNURBS曲面が地球で、3次元空間そのものが宇宙です。

次に、丸みについて考えます。
テーブルの上に置かれた紙を丸めようと思うと、紙をテーブルから離す必要がありますよね。紙の丸みは、紙本来の平面性からは見えず、紙を丸める人がいてこそ見えるものです。
つまり、地表面の丸みは宇宙からしか見えません。

CADで曲面を考えるとき、それを3次元か2次元とするかは、それぞれ宇宙か地球のどちらから見るかによります。
宇宙をXYZ空間と表現するとき*3、地球から見た地表面をUV空間と表現します*4。UV空間は2次元なので丸みはありません。

地球と火星を比べる

地球と火星は異なる天体ですが、ほとんど同じような形（球面）をしています。

これらは、任意の球面からぼこぼこと変形されたもので、変形前の球面は同一のものと考えることができます。変形前の球面（とその上に描かれたグリッド）をUV空間と考えてください。

UV空間でのひとつの移動を、地球と火星で表現できます（UV空間⇔地球、UV空間⇔火星）。
このことを別視点からとらえると、UV空間を介して、地球でのひとつの移動を火星で表現できます（地球⇔UV空間⇔火星）。これを曲面間の変換と呼びます。

曲面から曲面へモデリングする

では、Grasshopperを使って確かめます。

以下の図のように、曲面を並べられた円柱で切り抜きます。この曲面形状は、ひとつのUV空間を持つNURBS曲面に対して、切り抜き形状を曲線で持っています。
場所によってさまざまな傾斜で円柱と交差しているので、切り抜き形状は様々な形状を持っており、それがどんな形状をしているのかを１枚の紙で確認できるデータを作成します。

Grasshopperアルゴリズムを確認しましょう。
読み込みのNURBS曲面と同じくらい（XYZ空間での形状）の大きさの曲面を作り、それぞれの曲面をSourceとTargetとします。Sourceのトリム情報（切り抜き形状）をCopy TrimでTargetに移します。これは曲面間の変換にあたります。
このとき、SourceとTargetの形状は大体同じくらいであり、切り抜き形状はそれぞれ異なることに注意しましょう。

GrasshopperのNURBSモデリングで宇宙を感じることができました。嬉しいですね。

UV空間を利用した処理は他にも考えられます。以下のコンポーネントは、その扱いにおいて便利なコンポーネントです。

Map To Surface
Closest Point On Surface
Evaluate Surface
Surface Morph
Sporph

また、似たような処理としてUnrollなどがあります。この処理では、先ほどの「同じくらい」を「ほぼ同じ」くらいにして、同様の曲面間の変換が施されていると思われます。

興味のある方はUnrollを自前で作ってみてください！（ぜひコメントなどでシェアしてください！）

実例で考える

実際の建築に当てはめて考えてみましょう。

EPFL’s Rolex Learning Center
[Bernard Vogel, CC BY-SA 4.0 <https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0>, via Wikimedia Commons]

Lou Ruvo Center for Brain Health
[Monster4711, CC BY-SA 3.0 <https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0>, via Wikimedia Commons]

上の写真（EPFLラーニングセンター）は例と同様、一枚のサーフェスに穴をあけたものと考えられそうです。

下の写真（Lou Ruvo Center）は、何枚かの紙のような面を組み合わせて作られていそうです。
このような形は、複数枚のサーフェスを組み合わせたBrepだと考えることができ、以前紹介したBrepを使ったモデリングと組み合わせて考えることができます。NURBS曲面のつながりに合わせて、UV空間を貼り合わせていくイメージです。

blog.vicc.jp

BrepにUnrollを使う時は少し気を付けてください。サーフェスごとにばらばらになってしまい、望んだ展開図が手に入らないことがあります。